03 ΜηχανισμόςMechanism
Ο κανόνας Catmull–Clark (1978) είναι το de facto πρότυπο. Σε κάθε επανάληψη παράγει τρεις τύπους σημείων και ξαναφτιάχνει το πλέγμα σε αποκλειστικά τετράπλευρα. Οι συντελεστές δεν είναι αυθαίρετοι: προκύπτουν από τη γενίκευση των δικυβικών ομοιόμορφων B-spline επιφανειών σε αυθαίρετη τοπολογία. The Catmull–Clark rule (1978) is the de facto standard. Each iteration produces three kinds of points and rebuilds the mesh out of quadrilaterals only. The weights are not arbitrary: they come from generalising bicubic uniform B-spline surfaces to arbitrary topology.
F = (1/n) · Σ vᵢ
Για κάθε έδρα, το κεντροειδές των κορυφών της. Ένα νέο σημείο στο κέντρο κάθε πολυγώνου — ανεξάρτητα από το αν είναι τρίγωνο, τετράπλευρο ή δεκάγωνο. For each face, the centroid of its vertices. One new point at the centre of every polygon — triangle, quad or decagon alike.
E = (v₁ + v₂ + F₁ + F₂) / 4
Για κάθε ακμή, ο μέσος όρος των δύο άκρων της και των δύο νέων σημείων των γειτονικών εδρών. Αυτός ο όρος είναι που τραβάει την ακμή προς τα μέσα και εξαλείφει τη γωνιακότητα. For each edge, the average of its two endpoints and the two new face points either side. This term is what pulls the edge inward and removes the crease.
P′ = ( F̄ + 2R̄ + (n − 3)·P ) / n
Κάθε υπάρχουσα κορυφή μετακινείται. F̄ είναι ο μέσος όρος των γειτονικών σημείων έδρας, R̄ ο μέσος όρος των μέσων των προσκείμενων ακμών, και n ο βαθμός (valence) της κορυφής. Γι’ αυτό το σχήμα λέγεται προσεγγιστικό: η οριακή επιφάνεια δεν περνάει από τις αρχικές κορυφές. Every existing vertex moves. F̄ is the average of the neighbouring face points, R̄ the average of the incident edge midpoints, and n the vertex valence. This is why the scheme is called approximating: the limit surface does not pass through the original vertices.
Σε ένα τακτικό πλέγμα τετραπλεύρων κάθε κορυφή έχει βαθμό 4. Όπου ο βαθμός είναι διαφορετικός — 3, 5, 6 — έχουμε μια μη κανονική κορυφή (extraordinary vertex). Εκεί η επιφάνεια είναι C¹ αντί για C², δηλαδή λεία αλλά με ασυνεχή καμπυλότητα. In a regular quad mesh every vertex has valence 4. Wherever the valence differs — 3, 5, 6 — you have an extraordinary vertex. There the surface is C¹ instead of C²: smooth, but with discontinuous curvature.
Το κρίσιμο: μετά την πρώτη υποδιαίρεση, ο αριθμός των μη κανονικών κορυφών παγώνει και δεν αυξάνεται ποτέ ξανά. Απομονώνονται. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα επιτρέπει στη feature-adaptive προσέγγιση να υποδιαιρεί μόνο γύρω τους και να αφήνει την υπόλοιπη επιφάνεια σε κανονικά B-spline patches που τρέχουν κατευθείαν στη GPU. Critically: after the first subdivision, the number of extraordinary vertices is frozen and never grows again. They get isolated. That single property is what lets the feature-adaptive approach subdivide only around them and leave the rest of the surface as regular B-spline patches evaluated directly on the GPU.
Το 1998 ο Jos Stam έδειξε ότι μια επιφάνεια Catmull–Clark μπορεί να αποτιμηθεί ακριβώς, σε οποιαδήποτε παραμετρική θέση, χωρίς επαναληπτική υποδιαίρεση — μέσω ιδιοανάλυσης του πίνακα υποδιαίρεσης. In 1998 Jos Stam showed that a Catmull–Clark surface can be evaluated exactly, at any parametric location, without iterative subdivision — via eigenanalysis of the subdivision matrix.
Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι η «υποδιαίρεση» έπαψε να είναι διαδικασία και έγινε ορισμός επιφάνειας: παίρνεις θέση, κάθετο διάνυσμα και καμπυλότητα σε ένα βήμα. Πάνω σε αυτό στηρίζονται ο ακριβής φωτισμός, το displacement και η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων. In practice, subdivision stopped being a process and became a surface definition: you get position, normal and curvature in one step. Exact shading, displacement and finite-element analysis all rest on this.
04 ΈλεγχοςControl
Η πρώτη ένσταση σε κάθε λεία επιφάνεια είναι η ίδια: «και οι αιχμηρές ακμές;». Η απάντηση δόθηκε στο SIGGRAPH 1998 από τους DeRose, Kass και Truong της Pixar, δουλεύοντας πάνω στο Geri’s Game: η οξύτητα γίνεται συνεχής παράμετρος. The first objection to any smooth surface is always the same: “what about sharp edges?”. The answer arrived at SIGGRAPH 1998 from DeRose, Kass and Truong at Pixar, working on Geri’s Game: sharpness becomes a continuous parameter.
Σε μια ακμή δίνεται τιμή οξύτητας s. Για τα πρώτα ⌊s⌋ επίπεδα υποδιαίρεσης εφαρμόζονται οι αιχμηροί κανόνες (η κορυφή μένει ακίνητη)· στο επόμενο επίπεδο γίνεται γραμμική ανάμειξη ανάμεσα σε αιχμηρό και λείο κανόνα με βάρος το δεκαδικό μέρος· από εκεί και πέρα ισχύουν οι κανονικοί λείοι κανόνες.
An edge is tagged with a sharpness value s. For the first ⌊s⌋ levels the sharp rules apply (the vertex stays put); at the next level the sharp and smooth rules are blended by the fractional part; beyond that the ordinary smooth rules take over.
Αποτέλεσμα: s = 0 δίνει τέλεια λεία μετάβαση, s = ∞ δίνει πραγματική ακμή, και οτιδήποτε ενδιάμεσα δίνει ελεγχόμενο fillet — χωρίς να προσθέσεις ούτε μία κορυφή στο πλέγμα.
The result: s = 0 gives a perfectly smooth transition, s = ∞ gives a true edge, and anything between gives a controlled fillet — without adding a single vertex to the cage.
Πείτε μας τι φτιάχνετε και θα σας πούμε αν η υποδιαίρεση είναι το σωστό εργαλείο — και αν όχι, ποιο είναι.Tell us what you are building and we will tell you whether subdivision is the right tool — and if not, what is.